В нашем мышлении большую роль играет подсознание: то есть предметы и детали — свойства предметов, которые мы не осознаем явно и не думаем о них напрямую, но они играют важную роль в мыслительных преобразованиях.

Ярким примером имплицитного, то есть скрытого от нас самих, являются интерпретации.

И обратимся к математике как к хорошему примеру.

С детства мы решаем примеры: 3+2=5, x+8=92 — от элементарной арифметики до математического анализа, дифференциальных уравнений и функционального анализа.

Даже еще до уровня символических вычислений нас учат переходить на уровень абстракции, когда цифры остаются просто цифрами, а не яблоками, кирпичами или цыплятами.

Таким образом, уча математические действия и операции, мы забываем о том, для чего они могут применяться. Или другими словами, усиление математики угнетает логику, которой самой по себе, как отдельному предмету, детей даже не учат.

Возможно, в этом не может быть укора математике, ведь это лишь инструмент. Но такой взгляд показывает, как важна и необходима логика в виде отдельного предмета.

В математике есть несколько уровней абстракции:

* числовые вычисления 2+4

* символические вычисления a+b

* символические вычисления более высоких уровней: операционное исчисление (дифференциальное исчисления, интегральные исчисления)

* вариационное (функциональное) исчисление

Каждый из уровней заключает в себе свой особенный вид абстракции. При этом числа, переменные (неизвестные), математические операции, функции, операторы могут быть как совершенно оторванными от интерпретаций, так и быть связанными с ними.

И тем не менее, в конце самой сложной математической абстракции лежат вычисления, которые приводятся к (разрешаются в) конкретные числа, связанные с их конкретным смыслом — с интерпретацией.

Интерпретации объясняют, что имеет ввиду символ, функция, оператор или число. Чем сложнее математический аппарат, тем сложнее и его интерпретации.

При этом интерпретации также могут быть многоуровневыми с точки зрения абстракции. Например, числа могут ассоциироваться с яблоками, предметами, вещами или объектами. Одна и та же интерпретация разного уровня абстракции может ссылаться на один и тот же предмет.

Механика, геометрия, физика, статистика — науки, в основе которых лежит математический аппарат, то есть они привносят смысл в выхолощенную математику как одну из самых абстрактных наук.

И наоборот, математика позволяет на основе совпадения смыслов встроить в науку набор абстракций и преобразований, который помогает выстроить и получить принципиально новые результаты. И здесь математика идет рука об руку с логикой как наукой, интерпретирующей, объясняющей математический результат (символический или вычисления) на понятийном, естественном языке.

Логика в данном случае, является прослойкой между прикладной наукой, такой как физика, и математикой. Суть такой соединительной ткани — именно в интерпретации и абстрактному подходу в применении абстракций к реальностям, методам проверки гипотез, полноте и консистентности (связности).

Математика за счет своих моделей и смыслов, их свойств позволяет дополнить естественные науки, описывающие реальность, через дополнительные вопросы, на которые науки должны дать ответы. Это вопросы о связанных параметрах, их значениях, частоте измерений, разбросе значений, предельных значениях в абсолюте и в локальных областях.

Мы привыкли к тому, что логика выражается в силлогизмах (высказываниях), но это не всегда верно, потому что любой смысл обозначается в некоторых терминах, а потому используя математические, химические, музыкальные и другие виды операций и преобразований, рождаются новые термины, и преобразуются существующие термины. Термины становятся более насыщенными, сложными, агрегирующими (впитывающими больше других терминов). Они получают больше свойств и различные возможности. Но термины имеют свою структуру, в отличие от переменных и символических выражений математики. Пожалуй, лишь ТФКП (теория функций комплексных переменных) определила переменную как две связанных части — действительной и мнимой. Во всех остальных случаях связь переменных, их агрегат (то есть целостное представление в одном объекте) или принадлежность агрегату не определяется явно. В целом, связи между переменными в математике определяются через функции. И обычно связи является имплицитными, то есть скрытыми, не показываемыми явно.

Как результат, многие студенты просто не в состоянии применить математический аппарат к прикладным объектам. Он так и остается для них абстракцией, оторванной от жизни.

Похожая практика происходит и в программировании, но в значительно меньшей степени, так как переменные, название операций получают (по своей практике) более осмысленные названия, лучше прослеживается цепочка от исходных данных и в результатах в виде отчетов, элементов экранных форм, базах данных.

Но вернемся к математике. Как любая абстрактная модель, она рождается из смыслов, из интерпретаций. Интерпретация — это наделение объектов некоторой реальности (физической или ментальной) свойствами в понятиях некоторого субъекта (человека), который судит об этой реальности (некоторых предметах).

Далее, обобщая, модель отдаляется от интерпретаций, действуя и развиваясь в своей абстракции через замкнутый аппарат — через набор операций, ограниченных (отгороженных) от интерпретаций.

И затем происходит обратная тенденция — поиск применимости разработанной модели к реальным объектам. В этом случае либо модель может «примеряться» к реальным объектам, либо наоборот, происходит поиск подходящей модели под объект реального мира.

В том, что математика абстрагируется от интерпретаций есть важная и нужная идея. Интерпретации иногда долго подбираются (вербализуются, репрезентуются), поэтому математическая модель, тянущая за собой интерпретации, развивалась бы сложно и долго. Преобразования потребовали бы делать двойную работу: вместе с математическими операциями проводить логические операции над изменяющимися интерпретациями. Кроме того, интерпретации с их усложнением при проведении преобразований могут быть достаточно ёмкими и объемными, что неизменно привело бы к разрастанию математической модели в несколько раз.

Выше я описывал порождение и привязку логических и математических объектов как исходного и создаваемого, ведомого и ведущего. Это была связь между реальностью, выраженной в виде интерпретации, и математикой. Причем роли менялись: математика представлялась и как ведомой, и как ведущей. В итоге же можно поставить знак эквивалентности, равном соотношении между реальностью и математикой. В разное время одно описывается другим, и одно подбирается под другое.